Das Newton-Verfahren

(Datei:newton.pvw)

 
Viele Gleichungen lassen sich algebraisch nicht lösen. Mithilfe des Newton-Verfahrens läßt sich mit geringem rechnerischen Aufwand eine numerische Lösung bestimmen:
 
Als Beispiel betrachten wir die Gleichung ex=x2.  Diese Gleichung bringen wir in die Form ex-x2=0 Die Lösungen der Gleichung sind dann die Nullstellen der Funktion f: f(x) = ex-x2

Demonstration des Newton-Verfahrens:

Wählen Sie Menüpunkt Datei > Alles neu!
Geben Sie als Funktionsterm ein: f:y=  e^x-x^2
Beenden Sie mit !
Zunächst wählt man eine beliebige Zahl x0 (hier x0=2) als Startwert! und
berechnet die Nullstelle der Tangente durch den Punkt P0(x0 / f(x0)); Die Nullstellenbestimmung einer Tangente (Gerade) führt im Gegensatz zu oben auf eine einfach zu lösende lineare Gleichung:
Klicken Sie in der Schalterzeile auf Tangente und auf Punkt!
Klicken Sie im Register Info auf x0 anzeigen und f(x0) anzeigen.

 
Klicken Sie mit der linken Maustaste auf die Stelle x0=2!
Paraview zeigt die Tangente durch Punkt P0.
Diese Tangente schneidet die x-Achse bei x1=1;
Klicken Sie mit der linken Maustaste auf die Nullstelle mit x1=1
Paraview zeigt die Tangente durch Punkt P1.
Diese Tangente besitzt die Nullstelle x2=-1,4.
Klicken Sie mit der linken Maustaste auf die Nullstelle x2=-1,4
Paraview zeigt die Tangente durch Punkt P2.
Diese Tangente besitzt die Nullstelle bei x3=-0,8;
Klicken Sie mit der linken Maustaste auf die Nullstelle x3=-0,8
Paraview zeigt die Tangente durch Punkt P3.
Diese Tangente besitzt die Nullstelle bei x4=-0,7;
Klicken Sie mit der linken Maustaste auf die Nullstelle x4=-0,7
Die numerischen Werte lassen sich über die Wert-Anzeige des Registers Info verfolgen:
Am Ende zeigt sich als Näherungswert der Nullstelle x4=-0,706.
y=f(-0,706)=0,005 - also schon ein guter Näherungswert für die Nullstelle der Funktion f.
 
Mit geeigneten Beispielen lässen sich auch die Probleme und Grenzen des Newton-Verfahrens demonstrieren.